Легко! Стереометрические задачи ЕГЭ!
Довольно часто среди заданий B11 встречаются такие, где требуется определить, к примеру, во сколько раз изменится объем или площадь боковой поверхности какой-нибудь объемной фигуры при изменении ее линейных размеров в известное число раз. Если такая задача попадётся вам на ЕГЭ по математике —радуйтесь, дорогие старшеклассники, вам повезло! Эти задачи решаются устно, буквально в одно действие. В данной статье описан простой способ решения подобных задач B11. Ключом к решению станет для вас одно очень простое правило.
|
При увеличении (уменьшении) всех линейных размеров тела (например, всех ребер тетраэдра) в раз, площадь его боковой поверхностиувеличивается (уменьшается) в раз, а объем увеличивается (уменьшается) в раз. |
То есть, если, к примеру, в условии задачи сказано, что все ребра тетраэдра увеличили в 2 раза, осведомленный старшеклассник без труда сообразит, что площадь поверхности такого тетраэдра увеличится в раза, а объем — в раз.
Используя это элементарное правило, вы без труда сможете решить даже такие на первый взгляд сложные задачи, в которых говорится о каких-нибудь непонятных икосаэдрах, октаэдрах и других «сложных» геометрических фигурах. Например, не стоит паниковать, если на ЕГЭ по математике вас попросят посчитать, во сколько раз уменьшился объем октаэдра, если все его ребра уменьшили в два раза. Для нас вообще не важно с какой фигурой мы имеем дело. Если все ее линейные размеры уменьшили в 2 раза, то ее объем уменьшился в раз.
А что, если мы имеем дело с обратной ситуацией? Что, если нам требуется найти, в сколько раз изменились все линейные размеры тела, при этом известно, во сколько раз изменился объем или площадь боковой поверхности.
Переформулируем наше правило в несколько более причудливой, но удобной для этого случая форме:
|
При увеличении (уменьшении) всех линейных размеров тела (например, всех ребер тетраэдра) в раз, площадь его боковой поверхностиувеличивается (уменьшается) в раз, а объем увеличивается (уменьшается) в раз. |
Думаю, вы согласитесь, что поменялись лишь обозначения, суть правила при этом не изменилась. Уясним смысл этого правила на примере следующей задачи.
Известно, что при изменении всех линейных размеров додекаэдра, его объем увеличился в 27 раз. Во сколько раз были изменены все линейные размеры додекаэдра, и во сколько раз изменилась площадь его боковой поверхности? Поскольку объем увеличился в 27 раз, то в наших обозначениях Получается, что все линейные размеры были увеличены в раза, а площадь его боковой поверхности была увеличена в раз.
Ну и последний самый каверзный случай, когда требуется найти во сколько раз изменились все линейные размеры тела, если известно во сколько раз при этом изменилась площадь его поверхности. В этом случае правило будет иметь следующий вид:
|
При увеличении (уменьшении) всех линейных размеров тела (например, всех ребер тетраэдра) в раз, площадь его боковой поверхностиувеличивается (уменьшается) в раз, а объем увеличивается (уменьшается) в раз. |
К примеру, требуется найти, во сколько раз были изменены все линейные размеры икосаэдра, если известно, что площадь его боковой поверхности при этом уменьшилась в 16 раз. В данном случае, в соответствии с описанным выше правилом, Значит все линейные размеры тела были уменьшены в раза. Объем при этом уменьшился в раза.
Вот так очень просто решаются некоторые на первый взгляд непонятные задачи B11.Запомните этот простой способ! Он существенно облегчит вам решение некоторых задач B11 из ЕГЭ по математике.